Лабораторные работы по физике

Лабораторная работа № 5.2


ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИИ СВЕТА НА ОДИНОЧНОЙ ЩЕЛИ И ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКЕ

Цель работы:   1) наблюдение картины дифракции Фраунгофера от одиночной щели и дифракционной решетки в монохроматическом свете;

2) экспериментальное определение ширины щели и периода дифракционной решетки

Схема экспериментальной установки


1, 2, 3 – штативы; 4, 5 – регулировочные винты; Л – газовый лазер;

БП – блок питания лазера; Щ – пластинка со щелью;

 ДР – дифракционная решетка; Э – экран

Теория метода

 Установка для изучения дифракции света аналогична той, которая используется для наблюдения интерференционной картины в работе 5.1. Различие между ними заключается в том, что вместо пластинки П с горизонтальными щелями используется пластинка Щ с одной вертикальной щелью (упражнение 1) и дифракционная решетка ДР (упражнение 2). Их увеличенное схематическое изображение дано на схеме установки справа.

 Рассмотрим прохождение через щель шириной b нормально падающей на нее плоской световой волны (на рис. 1 показан «вид сверху»). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждая точка фронта волны (следовательно, каждая точка плоскости щели) является источником вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях и заходящих в область геометрической тени. Так как эти вторичные волны когерентны, при наложении друг на друга они дают на экране Э картину интерференции. Сложность анализа этой картины заключается в необходимости учета бесконечного множества источников когерентных волн.


Рис. 1

 Выясним результат наложения лучей в произвольной точке экрана М, расположенной на расстоянии xM от центра картины (ось Ох направлена горизонтально в плоскости экрана). Если ширина щели b и расстояние xM малы по сравнению с расстоянием D от щели до экрана (b << D и xM << D), то попадающие в точку М лучи практически параллельны друг другу и составляют с первоначальным направлением распространения некоторый малый угол j . Результат интерференции вторичных волн зависит от величины этого угла, и интенсивность света в точке М определяется выражением

 (1)

где

 (2)

I 0 – интенсивность света, идущего от всей щели в направлении первичного пучка; l – длина волны света.

 Из (2) следует, что F(0) = 0; учитывая первый замечательный предел

получим, что при j = 0 (в центре картины) имеет место максимум освещенности: Iщ(0) = I 0 .

  Функция (1) обращается в нуль при условии F(j) = ± p × m, где m Î N. Подставляя в это условие выражение (2), получим уравнение, позволяющее определить углы, при которых наблюдаются минимумы освещенности (темные полосы):

 (3)

 Условие (3) можно также получить, воспользовавшись методом зон Френеля. Разобьем фронт волны (плоскость щели) на участки, разность хода от которых до точки М равна половине длины волны; так как соответствующая разность фаз равна ± p , волны от двух таких соседних зон при наложении гасят друг друга. Таким образом, если для данной точки открыто четное число зон Френеля, то в ней наблюдается минимум интенсивности. Число зон можно найти, разделив разность хода крайних лучей D (см. рис. 1) на половину длины волны. Учитывая, что   и положив количество зон равным четному числу 2m, придем к условию (3).


Между определяемыми этим условием минимумами наблюдаются слабо выраженные максимумы. На рис. 2 показан график зависимости интенсивности от синуса угла дифракции и соответствующая ему дифракционная картина на экране.

Рис. 2

  Как видно из рис. 2, координата х точки М на экране (индекс «М» при х здесь и в дальнейшем опустим) связана с углом j простым соотношением x = D×tgj . Поскольку угол j мал, имеем

 (4)

 Подставляя данное соотношение в условие (3), найдем координаты точек xm , в которых имеет место m-й по счету, начиная от центра, минимум освещенности. Ограничившись положительной полуосью (x > 0), получим:

 (5)

 Координату m-го минимума можно найти экспериментально путем обработки дифракционной картины (рис. 2). Для этого необходимо отметить по обе стороны от центрального максимума минимумы одного и того же порядка m (в примере на рисунке m = 3) и измерить расстояние между ними Lm ; расстояние от центра картины до m-го минимума находится из очевидного соотношения

 . (6)

 Если известна длина волны лазерного излучения l и расстояние от щели до экрана D, то с помощью выражения (5) можно определить ширину щели b:


 . (7)

Рис. 3

Дифракционная решетка (ДР) представляет собой пластинку с множеством параллельных узких щелей одинаковой ширины b, находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 3). Расстояние между центрами соседних щелей d называется постоянной (или периодом) дифракционной решетки.

 При прохождении через решетку нормально падающей на нее плоской световой волны (см. рис. 3) происходят следующие явления: 1) интерференция вторичных волн, создаваемых точками в плоскости каждой из щелей (это явление подробно рассмотрено выше); 2) интерференция световых пучков от различных щелей. В результате наложения этих явлений на экране наблюдается дифракционная картина, имеющая довольно сложный характер. Так же, как и при дифракции от одиночной щели, интенсивность света в точке М экрана зависит от угла дифракции j ; в случае решетки она определяется выражением

 (8)

где

 (9)

N – общее число щелей (штрихов) решетки, накрываемых падающей световой волной; Iщ(j ) – функция, определяемая выражениями (1)-(2).

 Благодаря множителю Iщ(j) выражение (8) обращается в нуль при углах дифракции, определяемых условием (3); применительно к решетке оно является условием наблюдения главных минимумов.

  Найдем значение I (j) при Y(j) = p × k, где k Î Z . Раскрыв неопределенность в фигурных скобках выражения (8), вычислим предел:

 Интенсивность света при этом будет равна N 2Iщ . Условие Y(j) = p × k с учетом выражения (9) имеет вид

 (10)

и определяет углы, под которыми наблюдаются главные максимумы освещенности. Число k называется порядком главного максимума. В частности, при k = 0 и, следовательно, j = 0 (в центре картины) имеет место наиболее яркий центральный максимум интенсивностью Imax = N 2I0 . Все остальные главные максимумы имеют меньшую интенсивность, зависящую от множителя Iщ(j).

  Отметим, что условие главного максимума (10) можно получить на основе более простых соображений. Как было показано в описании к работе 5.1, пучки света от соседних щелей усиливают друг друга, если разность хода между ними D кратна целому числу длин волн. Из рис. 3 видно, что в случае дифракционной решетки  Подставляя это соотношение в вышеупомянутое условие, придем к (10).

 Дробь в фигурных скобках выражения (8) обращается в нуль при  где l – целое число, не равное kN. Поэтому в промежутках между соседними главными максимумами наблюдается по (N – 1) вторичных минимумов, чередующихся со слабо выраженными вторичными максимумами. При большом числе щелей N интенсивность самого яркого вторичного максимума составляет менее 5% интенсивности ближайшего главного максимума. В условиях данной лабораторной работы вторичные максимумы практически неразличимы и образуют бледную светлую полосу, на фоне которой в виде ярких пятен наблюдаются главные максимумы.

  На рис. 4 показан график зависимости интенсивности I от sinj и соответствующая ему дифракционная картина на экране.


Рис. 4

 Так же, как и при дифракции на одиночной щели, в данном случае координата х на экране и угол дифракции j связаны соотношением (4), с учетом которого условие (10) позволяет определить координату k-го главного максимума:

 (11)

 Экспериментально значение хk можно найти путем обработки дифракционной картины. Для этого слева и справа от центрального максимума нужно отметить положения главных максимумов одного и того же k-го порядка (в примере на рис. 4 k = 4) и измерить расстояние между ними Lk , после чего определить координату xk как

 (12)

 Зная xk , а также расстояние от решетки до экрана D и длину волны света l , из выражения (11) можно найти период дифракционной решетки:

 (13)

Порядок измерений и обработки результатов

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЩЕЛИ

 1. Ознакомьтесь с приборами на рабочем столе; между лазером Л и экраном Э поместите пластинку Щ с вертикальной щелью.

  2. Подключите к сети блок питания БП лазера. С помощью тумблера на панели БП включите лазер.

 3. Запишите в тетрадь значение длины волны лазерного излучения l = 0,633 мкм.

 4. Установите экран Э так, чтобы на нем наблюдалась четкая дифракционная картина.

 5. Запишите значение D в табл. 1, выразив его в миллиметрах.

Таблица 1

Номер опыта

D,

мм

m

Lm ,

мм

хm ,

мм

b,

мкм

Db,

мкм

(Db)2,

мкм2

1

n

S =

S =

 6. Отсчитайте слева и справа от центра картины одинаковое число m минимумов; измерьте линейкой расстояние между ними Lm  (см. рис. 2). Значения m и Lm  (в мм) занесите в таблицу.

 7. Изменяя расстояние D между щелью и экраном, повторите пп. 4-6 еще три-четыре раза (так, чтобы общее число опытов n было не менее четырех).

 8. Для каждого опыта с помощью соотношения (6) найдите координату m-го минимума xm . По формуле (7) рассчитайте ширину щели b; последнюю выразите в мкм. Значения xm  и b занесите в таблицу.

 9. Вычислите сумму найденных значений ширины щели и определите ее среднее значение .

 10*. Выполните все расчеты, необходимые для оценки случайной погрешности измерения ширины щели Ds b. Найдите величину Ds b, задаваясь доверительной вероятностью a = 0,95.

 11*. Оцените абсолютные приборные ошибки прямых измерений d D и d Lm , а также относительные ошибки ED и EL . Найдите абсолютную приборную погрешность косвенного измерения d b, при необходимости воспользовавшись формулой:

 12*. Оцените полные абсолютную D и относительную Е погрешности. Сделав необходимые округления, запишите окончательный результат измерения ширины щели.

Упражнение 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

 1. Замените штатив 2 со щелью Щ на штатив с дифракционной решеткой ДР.

 2. Установите экран Э так, чтобы на нем наблюдалась картина дифракции. Запишите в табл. 2 расстояние D от решетки до экрана.

Таблица 2

Номер опыта

D,

мм

k

Lk ,

мм

xk ,

мм

d,

мм

1

N

 3. Отсчитайте от центра картины (среднего из трех наиболее ярких максимумов) влево и вправо по одинаковому количеству k главных максимумов (не считая центрального!); измерьте расстояние между ними Lk , как показано на рис. 4. Значения k и Lk  занесите в таблицу.

 4. Повторите пп. 2 и 3, изменяя расстояние D от решетки до экрана так, чтобы общее число опытов n было не менее четырех.

 5. Для каждого опыта по формулам (12) и (13) рассчитайте координату k-го максимума xk  и период дифракционной решетки d. Результаты расчетов занесите в табл. 2.

  6. Оцените среднее из измеренных значений  и запишите его в тетрадь.

Контрольные вопросы

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.

Метод зон Френеля и его применение для анализа дифракционной картины.

Дифракция Фраунгофера на одиночной щели. Условие наблюдения минимумов.

Дифракционная решетка. Период решетки. Характер дифракционной картины. Условия наблюдения главных максимумов и минимумов.

Дифракционная решетка как спектральный прибор. Угловая дисперсия и разрешающая способность решетки.

Лабораторные работы по электротехнике и физике