Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример. Вычислить площадь петли кривой .

 

 

 

 

Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Решение. Область определения неявной функции  есть промежуток . Так как в уравнение кривой  входит во второй степени, то кривая симметрична относительно оси . Положительная ветвь  задается уравнением

Общие точки симметричных ветвей  должны лежать на оси Ох. Но  лишь при и при

Следовательно, петля кривойобразована кривыми  и

  (рис.1.8).

Поэтому площадь петли равна 

.


Площадь в полярных координатах