Вычисление обьема тела

Пример. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

 Р е ш е н и е. Кардиоида изображена на рис.2.3 Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Ох (она же и полярная ось) фигур MNKLO и OKLO.

  Перейдем, как и в предыдущей задаче, к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол :

,

.

Очевидно, что абсцисса точки М равна 2а (значение х при ). Абсцисса же точки К есть значение минимума функции .

  Найдем этот минимум:

,

.

 При  получаем , при  получаем .

 Следовательно, искомый объем равен

.

Делая замену , получим

,

Таким образом:

 

 

 

 

  0

 

 

  0

   


Площадь в полярных координатах