Тройные интегралы в сферических координатах

Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x² + y² + z² = 25.

Решение. Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x² + y² + z²), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену: Новые переменные изменяются в пределах: Учитывая якобиан ρ²sin θ, записываем интеграл в виде:

Пример Вычислить интеграл

где область U представляет собой единичный шар x² + y² + z² ≤ 1. Решение. Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами Записывая интеграл в сферических координатах, получаем Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим