Тройные интегралы в сферических координатах
Пример Найти интеграл
Решение. Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x2 + y2 + z2), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:, где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.
Новые переменные изменяются в пределах:
Учитывая якобиан ρ2sin θ, записываем интеграл в виде:
![]()
Пример Вычислить интеграл
где область U представляет собой единичный шар x2 + y2 + z2 ≤ 1. Решение. Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами
Записывая интеграл в сферических координатах, получаем
Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим
![]()
|