Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Разложим знаменатель на множители: Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений. Следовательно, Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде Окончательно находим

Пример Вычислить интеграл . наращивание ресниц

Решение. Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень 3-го порядка: Определим неизвестные коэффициенты. Получаем систему уравнений Следовательно, Исходный интеграл равен

 

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Поскольку - несократимый квадратный трехчлен, выделим в знаменателе полный квадрат: Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции Получаем ответ:

Масштабом обл. , где  

  масштаб всего разбиения

Функция f(x,y) интегрируема по Риману на обл. D (замкн. огранич) если все суммы Дарбу при  стремятся к одному и тому же числу I:

I) Если функция f(x,y) на огранич. замкн. области D обладает I свойством то она заведомо интегрируема по Риману.

II) Любая непрерывная функция интегрируема по Риману.

Основные свойства двойного интеграла

Опр. Область называется односвязной если любые две точки этой области могу быть соединены кривой все точки которой принадлежат этой обл.

1) свойство аддитивности

Если обл. D можно представить в виде суммы D1 и D2 где D1 и D2 – огранич. замкнут. односвяз. Не имеющие общих внутренних точек. D=D1+D2

 

+

2) линейность

если ,, то

3) площадь области D

4) f(x,y)>0   

 


  поверхность f(x,y) над D

Криволинейные интегралы