Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Пусть u = cos x, du = − sin xdx. Тогда

Пример Вычислить .

Решение. Делая замену u = sin x, du = cos xdx и используя соотношение , получаем

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применив соотношения и , можно записать Вычислим интегралы в полученном выражении. Чтобы найти интеграл , сделаем замену u = sin 2x, du = 2cos 2xdx. Тогда Следовательно, исходный интеграл равен

Теор. (о сведении двойного интегр к одинарному повторн.)

Пусть f (x,y) задана на П

 если , то существует повторный однократный интеграл

II. f(x,y) задана на П -зависящий от параметра то сущ. Одинарный повторный интеграл

Доказательство:

f(x,y), разобьем П   n*m

  d

     c

 ,  a b

 общ.

Криволинейные интегралы