Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пример Найти интеграл .

Решение. Перепишем интеграл в виде Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений Получаем

Пример Найти интеграл .

Решение. Делая замену u = cos x, du = − sin xdx и выражая синус через косинус с помощью формулы , получаем

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле Следовательно, Тогда интеграл равен

Для вычисления площади S(D)  если объем - от уравнения поверхности Z=f(x,y)

5)

6) если

Замечание: обратное неверно так как если существует модуль то не обязательно существует двойной интеграл от ф-ции f

Пример  f=1 если x-рац.

  f=-1 если x-иррай.

Разрывна в интегрируема по Риману |f|≡1

7) Теорема о среднем.

I) Пусть на обл. D   g(x,y) – строго опред. Знака

=> всегда существует число А:   при этом

II) В случае если f(x,y) – непрерывна всегда найдется точка с координатами

Криволинейные интегралы