Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Криволинейные интегралы первого рода

Пример Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).

Решение.
Рис.3
Рис.4

Пример Вычислить интеграл , где C − дуга окружности .

Решение. Запишем дифференциал дуги кривой: Тогда, применяя формулу в плоскости Oxy, получаем

Опр: 2-го дифференциала. 

Для 2-х переменных: 

 

Опр: Критерий Сильвестра.

   

Критерий Сильвестра: если все квадратичной формы строго >0, то такая квадратичная форма является знакоопределенной (положительно определенной)

Если    (- отрицательна !!!), то такая квадратичная форма является знакоопределенной. (отрицательно определенной)

Криволинейные интегралы