Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Криволинейные интегралы первого рода

Пример Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6).

Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме. Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле заданный интеграл преобразуется следующим образом Сделаем замену. Положим . Тогда Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной. Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,

1)     если в точки M0 первый дифференциал равен 0, а второй является знакоопределенной квадратичной формой, то для дифференцируемой dокр точки M0 функции в точке M0 имеется локальный max если квадрат второго дифференциала отрицательно определен, и min – если положительно определен.

2)     Если , - знакоопределенная квадратичная форма, а, в dокр точки M0 функция дифференцируема, то точка M0 не является точкой локального экстремума.

3)     Если в точке M0=0, если  в точке M0 является квазиопределенной квадратичной формы, то ничего нельзя сказать.

Д-во: Приращение функции в точке M0  

r - расстояние от точки M до M0 

* - приращение конкретной переменной в точке  по отношению к M0

Криволинейные интегралы