Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Криволинейные интегралы второго рода

Пример Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале (рисунок 4).

Решение. Поскольку , то дифференциал равен . В соответствии с формулой находим решение

Пример Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга окружности, лежащая в первом квадранте, обход которой осуществляется против часовой стрелки (рисунок 5).

Решение. Очевидно, что дуга окружности описывается функцией , a − радиус окружности. (Мы взяли положительное значение корня, поскольку y > 0 в первом квадранте.) Тогда дифференциал равен Поскольку мы обходим кривую в направлении против часовой стрелки, то верхний и нижний пределы интегрирования равны, соответственно, a и 0. Следовательно,
Рис.5
Рис.6

Если , то все эти  называются областью сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Опр. Равномерной сходимости.

Пусть для   

 для , то такой несобственный интеграл сходится равномерно по параметру .

Криволинейные интегралы