Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Криволинейные интегралы второго рода

Пример Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

Решение. Запишем все выражения через параметр t: Далее, используя формулу можно записать

Пример Найти интеграл вдоль линии C, представляющей собой отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки B (2,3,4) (рисунок 7).

Решение. Сначала составим уравнение прямой AB. Введем параметр t: и перепишем уравнение прямой в параметрической форме: Далее применяем формулу Очевидно, что параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен
Рис.7

формула Грина касается криволинейных интегралов 2-го рода по замкнутому контуру.

Пусть - кусочно-гладкая,  - кусочно-гладкие

- непрерывны, за исключением площади области 0. Тогда

Область называется простой, если 

 D

  a  b 

 

конечная сумма простых областей = D

Криволинейные интегралы