http://zewana.ru/moda/jenskie-letnie-i-demisezonnyie-korichnevyie-botilonyi
Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела http://zewana.ru/moda/jenskie-letnie-i-demisezonnyie-korichnevyie-botilonyi

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса, где через обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности. Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами. Данную формулу можно записать также в координатной форме: В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Пример Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Решение. Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.

Определение: Криволинейного интеграла:

 

  

Число I называется криволинейным интегралом 1-ого рода,

  если: X=X(tY=Y(t 

 

  Составляем интегральную сумму:

 сумма Дарбу

 

  Замечание: Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования. 

 

Криволинейные интегралы