Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Теорема Остроградского-Гаусса

Пример Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.

Решение. Данное тело схематически изображено на рисунке 2. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, можно записать Переходя к цилиндрическим координатам, получаем

Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S является поверхностью тетраэдра с вершинами O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (рисунок 3).

Решение. По формуле Остроградского-Гаусса, Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид А уравнение плоскости ABC равно Находим значение интеграла:
Рис.3
Рис.4
Пусть   

* .

Достаточно для -равномерно сходился.

Признак Вейерштрассе.

 

Доказательство.


1)     Критерий Дирихле-Абеля.
а монотонно стремится к 0, то интеграл равномерно сходится по параметру.

 

Опр.

*  
  соответствует интеграл:
 
Криволинейные интегралы