Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: 1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1); 2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).

Решение. Рассмотрим первый случай. Очевидно, уравнение прямой имеет вид y = x. Тогда, используя формулу получаем Для случая, когда путь AB является параболой , мы имеем то есть мы получили тот же самый ответ. Применим признак для проверки поля на потенциальность. Таким образом, векторное поле является потенциальным, что и объясняет независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

теорема. Пусть задана кривая Р, которая спрямляема и не имеет особых точек.

Про функции P и Q известно, что они являются кусочно-гладкими и l – кусочно-гладкими, то всегда существует криволинейный интеграл второго рода.

доказательство

Свойства равномерной непрерывности

 далее аналогично

Замеч 1) L- замкнута

2)Св-ва Римана 1.

  2. 

  3. 

  4. 

для криволинейных интегралов второго рода свойства 3,4 не выполняются

Криволинейные интегралы