Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.

Решение. Поскольку компоненты векторного поля и их частные производные непрерывны и условие потенциальности поля выполнено, то данное векторное поле потенциально и, следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Заметим, что то есть потенциал поля равен . Тогда по формуле находим значение интеграла

  Если кривая   является кусочно-гладкой, (спрямляемой) и если функция f(x,y) на

кривой  является непрерывной, то криволинейный интеграл первого рода всегда

существует, и он может быть вычислен через однократный интеграл Римана.

Доказательство:   *

 

 

f(x,y)—непрерывная f—равномерно-непрерывна.

  если  , 

  длина дуги

 

 

 

ЗамечаниеX=X(t

  Y=Y(t)

  Z=Z(t)

 

 - Общий вид интеграла второго рода

 

 

Криволинейные интегралы