Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Определить, является ли векторное поле потенциальным?

Решение. Поскольку P = yz, Q = xz и R = xy, то ротор поля равен Следовательно, поле потенциально.

Пример Определить, является ли векторное поле потенциальным? Если да, то найти его потенциал.

Решение. Компоненты векторного поля равны . Легко видеть, что Таким образом, данное поле потенциально. Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем по отношению к x. Теперь определим C(y), приравнивая производную к Q (x,y). Следовательно, . Тогда где С₁ − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид

Элементы теории поверхностей. 

Опр. Отображение из плоскости в трехмерное пространство называется гомеоморфным, если

1) отображение является взаимнооднозначным

2) отображение является взаимнонепрерывным

  Образ любой фундаментальной последовательности в пространстве тоже фундаментальная последовательность и наоборот.

  Опр. Поверхность элементарная, если она является гомеоморфным отображением открытого круга (круг без внешней границы).

  Опр. Поверхность простая, если в любой точке этой поверхности существует такая эпсилон-окрестность, которая является элементарной поверхностью.

  Опр. Поверхность называется общей, если она является гомеоморфным отображением простой поверхности.

  Опр. Поверхность называется регулярной, если эту поверхность можно представить в параметрическом виде: x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V).

(Если поверхность задана явно z=f(x,y), то x=U, y=V, z=f(U,V)). Функции x, y, z в параметрическом задании k раз дифференцируемы (k>=1).

  Замечание: Если поверхность называется гладкой.