Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования
Пример Определить, является ли векторное поле
Решение. Поскольку P = yz, Q = xz и R = xy, то ротор поля равенпотенциальным?
Следовательно, поле
потенциально.
Пример Определить, является ли векторное поле
потенциальным? Если да, то найти его потенциал.
Решение. Компоненты векторного поля равны
. Легко видеть, что
Таким образом, данное поле потенциально. Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем
по отношению к x.
Теперь определим C(y), приравнивая производную
к Q (x,y).
Следовательно,
. Тогда
где С1 − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид
![]()
Элементы теории поверхностей.
Опр. Отображение из плоскости в трехмерное пространство называется гомеоморфным, если
1) отображение является взаимнооднозначным
2) отображение является взаимнонепрерывным
Образ любой фундаментальной последовательности в пространстве тоже фундаментальная последовательность и наоборот.
Опр. Поверхность элементарная, если она является гомеоморфным отображением открытого круга (круг без внешней границы).
Опр. Поверхность простая, если в любой точке этой поверхности существует такая эпсилон-окрестность, которая является элементарной поверхностью.
Опр. Поверхность называется общей, если она является гомеоморфным отображением простой поверхности.
Опр. Поверхность называется регулярной, если эту поверхность можно представить в параметрическом виде: x=x(U,V), y=y(U,V), z=z(U,V).
(Если поверхность задана явно z=f(x,y), то x=U, y=V, z=f(U,V)). Функции x, y, z в параметрическом задании k раз дифференцируемы (k>=1).
Замечание: Если поверхность называется гладкой.
|