Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Физические приложения двойных интегралов

Пример Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

Решение. Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке 1. Поскольку пластина однородна, то можно положить . Тогда масса пластины равна Найдем теперь статические моменты относительно осей Ox и Oy. Вычисляем координаты центра масс.
Рис.1
Рис.2

  Поверхность такая, что  касательная плоскость.

Возьмем  касательной плоскости: . Если при  для всех точек разбиения , то поверхность называется квадрируемой, а число  называется площадью этой поверхности.

  Пусть есть поверхность, заданная явно z=f(x,y) для  можно посчитать площадь. Если поверхность является гладкой, полной и ограниченной, без особых точек, то эта поверхность является квадрируемой и площадь поверхности может быть найдена по формуле: 

  Доказательство:

 

   

 

  из  - необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов, т.е. .

   В данной выбранной точке  является нормалью к нашей поверхности.

Криволинейные интегралы