Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Физические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность .

Решение. Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox. Аналогично вычислим момент инерции относительно оси Oy.

Пример Электрический заряд по площади диска таким образом, что его поверхностная плотность равна . Вычислить полный заряд диска.

Решение. В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством . Полный заряд будет равен

  Опр. Поверхность называется полной, если она содержит все свои предельные точки.

 Опр. Точка называется особой, если в этой точке нарушается условие гладкости поверхности, либо ранг матрицы из векторов x=x(U,V),  y=y(U,V), z=z(U,V) не равен 2.

  Пример:

 Пусть в пространстве есть некоторая поверхность Ф

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 принадлежат касательной плоскости, следовательно  не должны быть параллельны, следовательно мы можем найти нормаль к поверхности.

  Чтобы найти нормаль к поверхности достаточно найти

  Единичная нормаль: 

  Опр. Лист Мебиуса – гладкая поверхность. Если начать двигаться от точки, то придем к ней только с обратной стороны (односторонняя поверхность).

  Поверхность называется двусторонней, если вернемся к той же точке, от которой начали двигаться.

Криволинейные интегралы