Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB. где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна

Пусть поверхность S является кусочно-гладкой, ограниченной и замкнутой.

Пусть функции P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) являются не прерывными на поверхности и в области, которую эта поверхность ограничивает.

Пусть существуют частные производные

Которые не прерывны как на границе, так и в области, которую эта граница ограничивает.

В этом случае поверхностный интеграл второго рода, где нормаль внешняя равна тройному интегралу по объему V

Если нормаль во внутрь, то правая часть формулы берется со знаком «-»

Доказательство

  

рассматриваем 3-й случай(для первого и второго аналогично )

 


 f2(x,y)

  F1(x,y)

(поток через поверхность)

Криволинейные интегралы