Физические приложения поверхностных интегралов
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением
где
, G - гравитационная постоянная,
− функция плотности. Сила давления Предположим, что поверхность S задана вектором
и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила
, созданная давлением
, находится с помощью поверхностного интеграла по формуле
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать
где
− единичный нормальный вектор к поверхности S. Поток жидкости и поток вещества Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости
, то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой
Аналогично, поток векторного поля
, где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени. Заряд поверхности Пусть величина
является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой
Теорема Гаусса Поток электрического смещения
через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:
где
,
− напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды,
− диэлектрическая проницаемость вакуума. Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.
1)
2) однородность относительно умножения на константу
3)
4)
линия (поверхность) уровня.
Сечение поверхности линиями z=const
![]()
A(P,Q)
![]()
Характеризует завихренное поле
Некоторая операция, которая ставит в соответствие
If P(x,y), Q(x,y), R=0 => Частный случай 2-мерного поля. Что
он перпендикулярен направлению силового поля
|