Физические приложения поверхностных интегралов

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности. Сила давления Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать где − единичный нормальный вектор к поверхности S. Поток жидкости и поток вещества Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени. Заряд поверхности Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой Теорема Гаусса Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности: где , − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума. Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

1)

 

2) однородность относительно умножения на константу

3)

4)

 

линия (поверхность) уровня.

Сечение поверхности линиями z=const

 

 

  A(P,Q)

  Характеризует завихренное поле

 Некоторая операция, которая ставит в соответствие

If P(x,y), Q(x,y), R=0 => Частный случай 2-мерного поля. Что

  он перпендикулярен направлению силового поля