Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Решение. Массу оболочки определим по формуле Вычислим элемент площади dS: Найдем частные производные и их векторное произведение: Отсюда следует, что . Следовательно, масса оболочки равна

  Пусть задана некоторая полная кусочно-гладкая поверхность, имеющая кусочно-гладкую границу Г.

P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)

Про векторное поле известно, что на самой поверхности и в некотором объеме, содержащем эту поверхность функции P,Q,R является непрерывным вместе со своими частными производными.

  В этом случае циркуляция векторного поля по контуру Г равно потоку ротора через эту границу.

 

 

Направление обхода такого, что при обходе контура со стороны ориентации поверхности области связности остаются слева.

 

 

 

 

 

 
Док-во:

SZ=f(x,y)

Физические приложения двойных интегралов