Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в виде Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену: Получаем новый интеграл Сделаем еще одну замену: Находим окончательный ответ:

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в более удобном виде: Сделаем подстановку: Интеграл через новую переменную u имеет вид Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель. Окончательно получаем

Теорема3.

- непрерывна, кроме того - сходится равномерно, тогда -является интегрируемой функцией на , т.е.  
Доказательство.
Разобьем интеграл на 2-а интеграла
 может быть сделано для всех
Криволинейные интегралы