Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Физические приложения поверхностных интегралов

Пример Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

Решение. В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения. Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

Пример Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Решение. Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл Так как векторы и сонаправлены, то поток равен Переходя к полярным координатам, получаем Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая можно записать Таким образом, поток жидкости равен
Рис.7
Рис.8

Пример Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.

Решение. В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины. Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем

 


P(x,y,z(x,y))

 

 

 

  If Q=0

Следствие: Чему равен поток ротора через любую замкнутую поверхность

Div=0 => если нет источников, то =0.

  Общий поток =0, у зависимости нет ни ист., ни стоков.

1.     
 

2.       

Доказать можно любым способом, достаточно знать, что такое по определению rot, div, grad

 

Чистка замши в домашних условиях средства для чистки замши
Физические приложения двойных интегралов