Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Поверхностные интегралы первого рода

Пример Вычислить интеграл , где S представляет собой полную поверхность конуса .

Решение. Обозначим через S1 боковую поверхность конуса, и через S2 − его основание. Запишем данный интеграл в виде суммы двух интегралов Найдем сначала первый интеграл I1, используя формулу Частные производные здесь равны Тогда Поскольку z = 2 для основания конуса, то область интегрирования D (x,y) определяется неравенством z2 + y2 ≤ 4 (рисунок 3). Следовательно, интеграл I1 записывается в виде Его легко вычислить в полярных координатах: Рассмотрим теперь второй интеграл I2. Уравнение основания конуса имеет вид z = 2. Поэтому, где равно площади основания . Тогда Таким образом, полное значение поверхностного интеграла равно
Рис.3
Рис.4

Физические приложения двойных интегралов