Ландшафтный дизайн в Минске . купить саженцы
Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела Ландшафтный дизайн в Минске . купить саженцы

Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x. Например, гиперболические синус и косинус определяются как

Производные этих функций имеют вид Обратите внимание на сходство с производными тригонометрических функций и на различие в знаках! Ниже приводятся производные других (прямых и обратных) гиперболических функций.

Пример Найти производную функции .

Решение. Дифференцируя как сложную функцию, находим

Интегрирование элементарных дробей.

 Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

 I.  III. 

  II.  IV. 

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b2 – 4ac <0.

 Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

II. 

Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

Если определена n-я производная f (n)(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f (n + 1)(x) = (f(n)(x))¢.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.


Найти повторный интеграл