Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Перепишем функцию в виде: Используем формулу производной суммы нескольких функций: Вынесем постоянные множители и вычислим производные степенных функций: Здесь мы использовали выражение . После упрощения получаем

Пример Найти производную функции .

Решение. Перейдем к записи в степенной форме: Производная разности функций равна разности производных этих функций: Вычисляя производные степенных функций, получаем

Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкно­венных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части фор­мул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегра­лами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - при­ведением двойного интеграла к повторному.

Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобре­тают особенно простой вид, когда область D является прямоуголь­ником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внеш­него, но и внутреннего интегралов:

  

В других случаях для сведения двойного интеграла к повтор­ному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет про­изводиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.

Дифференциал функции

Рассмотрим две функции: y1 = f1(x) и y2 = f2(x), которые имеют производные f1¢ (x) и f2¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение Dx. Тогда функции получат соответственно приращения Dy1 = f1(x + Dx)  f1(x) и Dy2 = f2(x + Dx)  f2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения Dy1 и Dy2 можно представить в виде сумм двух слагаемых:

 Dy1 = (C1 - A1) + (B1 - C1);  Dy2 = (C2 - A2) + (B2 - C2)  (1)

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (1) легко вычисляются из сходных формул: C1 – A1 = tgaDx = f1¢ (x)Dx; C2 – A2 = tgaDx = f2¢ (x)Dx.

Величина f¢ (x) Dx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Dx (можно сказать – пропор­циональна приращению Dx). Это означает, что если приращение аргумента Dx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (1) можно переписать в виде:

 Dy1 = f1¢ Dx + r1;  Dy2 = f2¢ Dx + r2. (2)

Здесь r1 = B1 – C1; r2= B2– C2.


Найти повторный интеграл