Shamarc shop shamarc5.
Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела Shamarc shop shamarc5.

Производная произведения и частного функций

Пример Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.

Решение. Запишем тангенс в виде . Тогда Поскольку , производная равна

Пример Пусть . Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции.

Решение. Представим функцию в виде y(x)=sinxsinx. По формуле производной произведения Так как , получаем

Пример Найти формулу для производной произведения трех функций.

Решение. Пусть . Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций: Поскольку , получаем

Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением  где функция  непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадке  возьмём точку  Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка  Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

  (1)

На этой плоскости выделим такую пло­щадку , которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел   этой суммы, когда наибольший из диаметров пло­щадок - стремится к нулю, мы будем называть площадью по­верхности, т. е. по определению положим

  (2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозна­чим через   угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

  Рис.20 Рис.21

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

или

  (3)

Угол  есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

  Следовательно,

 

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл  то окончательно получаем

  (4)

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности  

Если уравнение поверхности дано в виде  или в виде  то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

 (3’)

  (3’’)

где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.

Главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции y = f(x), равная f¢ (x) Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

 dy = f¢ (x) Dx.  (3)

Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (3) примет вид: dx = Dx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так

 dy = f¢ (x) dx.

Отсюда следует, что

 ,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ¹0, то  

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f¢ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F¢(t)dt = f¢ (x)x¢ (t)dt. Однако по определению дифференциала x¢ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.


Найти повторный интеграл