Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):

В приведенных ниже примерах мы предполагаем, что читатель (или если кто предпочитает - "пользователь") знаком с основными тригонометрическими формулами.

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Применим правило производной сложной функции несколько раз. По формуле двойного угла Следовательно, производная равна

Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение

 .

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

 .

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция  является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

 . (1)

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

  I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a).  (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

 ,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).


Найти повторный интеграл