Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Пример Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби
Решение. Запишем функцию в виде.
Видно, что данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом
и знаменателем
:
Полученный степенной ряд сходится при |x| < 2.
Пример Найти разложение функции
в степенной ряд.
Решение. Сначала разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Так как
, то можно записать
Умножим обе части на
. Получаем
Система уравнений имеет решение: A = 1, B = 1. Следовательно, исходная рациональная дробь раскладывается следующим образом:
В полученном выражении обе дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
Таким образом, разложение исходной функции в степенной ряд имеет вид:
![]()
Упражнения
1. Найти производные от следующих функций:
1)
;
2)
;
3)
;
3)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
где x = 1;
12)
;
13)
где t = p / 6;
14)
15)
;
16)
.
|