Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

Решение. Запишем функцию в виде Видно, что данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : Полученный степенной ряд сходится при |x| < 2.

Пример Найти разложение функции в степенной ряд.

Решение. Сначала разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Так как , то можно записать Умножим обе части на . Получаем Система уравнений имеет решение: A = 1, B = 1. Следовательно, исходная рациональная дробь раскладывается следующим образом: В полученном выражении обе дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий: Таким образом, разложение исходной функции в степенной ряд имеет вид:

Упражнения

1. Найти производные от следующих функций:

1)	;	2)	;
3)	;	3)	;
5)	;	6)	;
7)	;	8)	;
9)	;	10)	;
11)	где x = 1;	12)	;
13)	где t = p / 6;	14)
15)	;	16)	.