Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Пример

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Решаем:

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

Формула интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

  (uv)¢ = u¢v + v¢u

Отсюда следует

 ò (uv)¢dx = ò (u¢v + v¢u )dx = ò u¢v dx + ò v¢u dx

или

 ò uv¢ dx = uv – ò u¢v dx .

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

 ò u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ò v(x)du(x)


Найти повторный интеграл