Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула
…., но неожиданность состоит в том, что:
Пример
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от
.
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
Пример
Найти производную функции
В данной функции содержится сумма
и произведение двух функций – квадратного трехчлена
и логарифма
. Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки
используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде
не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что
.
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
.
Представим дробь
в виде суммы двух дробей:
и
, и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства
получим систему уравнений
с решением
. Отсюда следует:
.
Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.
|