шаринг
Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Производная частного функций

Пример

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Определенный интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, ¼, xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x1], [x1;x2], ¼ [xn-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1Î[a;x1], c2Î[x1;x2], ¼ cnÎ[xn-1;b].

Введем обозначения: Dx1 = x1 – a; Dx2 = x2 – x1; ¼ Dxn = b – xn-1.

Составим сумму:

  .

Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.

Каждое слагаемое интеграль­ной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: l = max(Dxi), i = 1, 2, ¼ n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом

 

от функции  по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

 .

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования.


Найти повторный интеграл