Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента  (a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)a;b). Обозначим соответствующие значения функции через y0 и y1: 

 y0=f(x0), y1=f(x0+∆x).  При переходе от x0 к x0+∆x функция получит приращение

 ∆y =  y1 - y0 = f(x0+∆x) - f(x0). Если при стремлении ∆x к нулю существует предел отношения приращения функции ∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆x,

т.е. существует предел 

  =  ,

то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x0. Итак, производная функции y=f(x) в точке x= x0 есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции y=f(x) в точке x обозначается символами (x) или (x). Используются также обозначения , . В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство, что производная берётся по переменной x.

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x) есть функция аргумента x.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный a.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле

 . (5)

Здесь b  ‑ угол между вектором   и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что .

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cosb £ 1, и равенство достигается только если b = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cosb = 1  нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.


Найти повторный интеграл