Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной.

Пример . Найти производную функции .

Решение. 

.

Пример . Найти производную функции .

Решение.

.

Пример . Найти производную функции .

Решение.

Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел

 ,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

 ;;.

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

  =.

В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.


Найти повторный интеграл