Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Производная обратной функции.

Справедлива следующая теорема.  Пусть функция y=f(x) строго монотонна (т.е. является либо возрастающей, либо убывающей) и непрерывна на интервале (a;b) и в точке x0 из этого интервала имеет отличную от нуля производную (x0). Тогда на множестве значений этой функции, соответствующем интервалу (a;b), определена непрерывная обратная функция x=φ(y), которая в точке y0= f(x0) имеет производную  , причём .

Пример. Функция y = sin x удовлетворяет условиям последней теоремы на интервале  и всюду на этом интервале имеет отличную от нуля производную:  . Поэтому на соответствующем интервале значений этой функции () определена и дифференцируема обратная функция

  x = arcsin y, причём .

Здесь перед корнем взят знак плюс, так как на интервале  функция  положительна. Итак, , или, если аргумент y обозначить

 через  x, .

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z = f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Примеры. 1. .

2.

Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

 .

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx¢¢, zyy¢¢, zxy¢¢ или . Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная zxy¢¢ = (zx¢ )y¢ может не быть равной zyx¢¢ = (zy¢ )x¢. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.)

Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

 .

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0). (Пример взят из книги О.С.Ивашева-Мусатова “Начала математического анализа”).


Найти повторный интеграл