Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Введём промежуточную функцию  . Тогда .

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Здесь .

.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Здесь .

.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,

то есть çР0Рç = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Dу); (x0+Dx,y0) и (x0+Dx,y0+Dу), причём çQ0Qç = f(Q0), çS0Sç = f(S0) и çR0Rç = f(R0). Приращение Df(х0,у0) функции в точке Р0 равно çRR2ç.

Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: çQ2Q1ç = f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç = f¢x(x0,y0)Dx.

Из легко доказываемого равенства

 çR2R1ç = çS2S1ç + çQ2Q1ç

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç.

Так как df(x0,y0) » Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.


Найти повторный интеграл