Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.

Пример . Найти производную функции .

Решение. Здесь .

.

Пример . Найти производную функции .

Решение. 

(здесь подразумевается промежуточная функция ).

Пример. Найти производную функции  .

Решение 

Пример . Найти производную функции .

Решение..

Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то есть если она содержит несколько промежуточных аргументов, то теорема о производной сложной функции применяется последовательно требуемое число раз. Пусть, например,

, а , то есть . Тогда .

То же самое можно записать иначе: .

Пример Найти производную функции .

Решение. Здесь , тогда .

.

Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

 x = x0 + t cosa, y = y0 + t sina. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

 (y - y0)/(x - x0) = tga

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и составляющей угол a с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

Производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l называется число

 . (2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль

некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по направлению l.


Найти повторный интеграл