Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Односторонние производные

Производная есть предел разностного отношения , причём этот предел не зависит от характера стремления  к нулю ( может быть как больше, так и меньше нуля, то есть может стремиться к нулю как справа, так и слева). Но в ряде случаев функция может не иметь в заданной точке производной, хотя в этой точке существует предел отношения   при условии, что   стремится к нулю только справа (правый предел) или только слева (левый предел), или же существует как правый, так и левый предел, но они не равны друг другу. Например, если функция определена на отрезке, а за пределами этого отрезка не определена, то на границах отрезка могут существовать только односторонние пределы. Такие односторонние пределы называются односторонними производными. А именно, если для рассматриваемой функции в заданной точке существует правый (левый) предел отношения , то этот предел называется правой (левой) производной. Правая производная функции   обозначается символом , левая – символом . То есть . Выше (см. § 7) уже говорилось о том, что функция  y== не дифференцируема в точке x = 0.  Однако в этой точке она имеет как правую, так и левую производную. Действительно,  .

Если функция  имеет в точке x производную, то очевидно, что она имеет в этой точке как правую, так и левую производную, причём .

Верно и обратное утверждение: если функция  имеет в точке x равные между собой правую и левую производную, то она имеет в этой точке и производную, причём

.

Пример. Решить уравнение  при начальном условии y(1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F (см. формулу (1) из §1).)

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения  получается из формулы (10):

 . (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A(x) есть некоторая функция аргумента x. Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:

 ,

откуда следует, что A¢(x) = x2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .


Найти повторный интеграл