Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Исследование функций с помощью производных

Отыскание точек локального экстремума функции

Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками. Однако в стационарной точке не обязательно достигается локальный экстремум функции. Например, функция   не имеет локального экстремума в стационарной точке x=0. Предположим теперь, что функция дифференцируема всюду на заданном интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция не имеет производной. В тех точках, в которых функция имеет отличную от нуля производную, эта функция, как следует из теоремы 16.1, либо возрастает, либо убывает. Поэтому в таких точках локального экстремума быть не может.

В остальных точках заданного интервала, т.е. в стационарных точках и в тех точках, где функция не имеет производной, наличие локального экстремума возможно. Так, например, функция y= не имеет производной в точке x = 0, но в этой точке функция имеет локальный минимум (рис. 4). Такие точки, а именно стационарные точки и те точки, в которых функция не имеет производной, называются критическими точками. Для того чтобы выяснить, имеется ли экстремум в критической точке, требуется дополнительное исследование. Рассмотрим достаточное условие достижения функцией локального экстремума в критической точке.

Теорема 23.1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция  дифференцируема всюду в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если в пределах этой окрестности производная  положительна (отрицательна) слева от точки  и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке  локальный максимум (минимум). Если же производная   имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке  нет.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда в пределах некоторой окрестности производная  положительна слева от точки  и отрицательна справа от точки . Выберем в пределах рассматриваемой окрестности произвольную точку , отличную от точки . Функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке , за исключением, быть может, точки , и непрерывна в точке . Поэтому для функции  на отрезке  выполнены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка  найдётся такая точка c, что .

Поскольку производная  положительна при  и отрицательна при , то в пределах рассматриваемой окрестности выражение   отрицательно. Но это означает, что в пределах данной окрестности значение  является наибольшим, то есть точка  доставляет функции  локальный максимум. Рассуждая точно также, можно доказать, что в случае, когда производная  отрицательна слева от точки  и положительна справа от неё, точка   доставляет функции   локальный минимум, а в случае, когда производная  имеет один и тот же знак слева и справа от точки ,  выражение  имеет разные знаки слева и справа от точки , что означает отсутствие экстремума в точке .

Теорема доказана.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде

 F(x,y,y¢) = 0. (1)

Здесь x ‑ независимая переменная, y ‑ её неизвестная функция,   ‑ производная функции y, F ‑ заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y¢.


Найти повторный интеграл