Вычисление площадей в декартовых координатах Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы Вычисление объема тела

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая  является для графика функции вертикальной асимптотой. При этом .

Найдём :

 .

Найдём теперь  :

,

следовательно, прямая   является для графика заданной функции наклонной асимптотой при . Точно также можно убедиться в том, что прямая  является наклонной асимптотой этого графика и при .

Пример . Убедимся в том, что график параболы  не имеет асимптот. Действительно,  , следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты. Так как функция непрерывна на всей действительной оси, то её график не имеет и вертикальных асимптот.

Схема исследования графика функции

Для того чтобы исследовать график заданной функции, целесообразно решить следующие задачи.

1. Уточнить область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на каждом из которых функция либо всюду положительна, либо всюду отрицательна).

4. Найти точки разрыва (если они существуют) и выяснить характер разрыва.

5. Выяснить вопрос о существовании асимптот.

6. Найти интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти интервалы, на которых сохраняется определённое направление выпуклости графика функции, и точки перегиба графика.

Пример Исследовать график функции .

Решение.

1. Областью определения заданной функции служит вся действительная ось за исключением точки .

2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. При  и при   , при  , следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точках  и , а ось ординат пересекает в точке  . Для исследования интервалов знакопостоянства достаточно представить выражение, определяющее функцию, в виде  . Отсюда видно, что в интервалах  и  функция знакоположительна (), а в интервалах  и  – знакоотрицательна ().

4. Так как , то в точке  функция имеет разрыв второго рода.

5. Из рассуждений предыдущего пункта следует, что прямая  является вертикальной асимптотой. Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту:

.

Следовательно, функция имеет наклонную асимптоту .

6. Вычислим первую производную функции: .

Первая производная в интервалах  и  положительна, в интервалах  и  отрицательна, в точке  производная не существует. Следовательно, заданная функция в интервалах  и  является возрастающей, в интервалах  и  – убывающей.

7. В точках  и  , поэтому в этих точках функция имеет локальные экстремумы. Так как слева от точки  производная отрицательна, а справа – положительна, то в этой точке функция имеет локальный минимум, при этом значение функции в этой точке равно . В точке  функция имеет локальный максимум, так как слева от этой точки производная положительна, а справа отрицательна. При этом значение функции в этой точке равно .

8. Вычислим вторую производную: . В интервале  график функции имеет выпуклость, направленную вверх, в интервале  – выпуклость, направленную вниз, поскольку на первом из этих интервалов , а на втором . Точек перегиба график не имеет, так как вторая производная нигде не равна нулю, а в точке , где не существует второй производной, сама функция не определена.

График этой функции изображён на рисунке 8.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное количество товара, выставляемое на

продажу при данной цене, называется предложением и будет обозначаться S(p). Также каждый покупатель сообщает, сколько товара он собирается купить при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем будет называться спросом и обозначаться D(p). Введем понятие избыточного спроса E(p) как разности между спросом и предложением: E(p) = D(p) – S(p). Если E(p) ³ 0, цена растет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и предложения, то есть равенством  D(p) = S(p) или E(p) = 0. Если E(p) £ 0, то есть имеет место избыточное предложение, происходит снижение цены, пока не наступит равновесие. Здесь уместно сделать самое простое возможное предположение, заключающееся в том, что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д. Отсюда следует уравнение

 .

Здесь k ‑ положительная константа, отражающая скорость процесса.

Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены: D(p) = a + bp и S(p) = g + dp. Тогда, приняв начальное условие p(0) = p0, будем иметь уравнение

 .

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое, как было показано выше, имеет решение

  ,

которое устойчиво, если b – d <0 и неустойчиво при b – d >0. Но b ‑ тангенс угла наклона кривой спроса, а d ‑ тангенс угла наклона кривой предложения, и если выполняется условие b – d <0 (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены ), рынок устойчив, то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой. Если b – d >0, рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция.


Найти повторный интеграл